7 november 1940: een krachtige stormwind beukt tegen de Tacoma Narrows Bridge in de Amerikaanse staat Washington. Deze imposante hangbrug, ook wel de “Gallopin’ Gertie” genoemd, gaat hevig op en neer en het stalen wegdek golft op de wind. De hele constructie begint te torderen onder de onvoorspelbare trillingen. Omstanders kijken met ingehouden adem toe hoe de brug steeds heftiger beweegt en uiteindelijk met een oorverdovend geraas de diepte in stort.
Deze dramatische instorting is niet zomaar een bijzonderheid, maar een les in de krachten van natuurkunde en techniek. Hoe kon dit gebeuren? Wat hebben ingenieurs hiervan geleerd? En wat heeft continuümmechanica hiermee te maken? Heeft dit bijgedragen aan de ontwikkeling van rekenmethodes zoals Finite Element Analysis (FEA)?
Galloping Gertie – Golvend op de wind
In juli 1940 werd de Gallopin’ Gertie als een van de langste hangbruggen ter wereld geopend. Maar al snel bleek dat de brug gekke dingen deed; bouwvakkers en omwonenden merkten namelijk dat de brug bij wind flink op en neer deinde. Maar het hoogtepunt was vier maanden na de opening, toen de brug volledig bezweek. Op 7 november 1940 waaide het circa 68 km/u, en de slanke brug raakte in een ongecontroleerde torsietrilling. Ooggetuigen filmden hoe het wegdek in afzonderlijke golvende segmenten brak en de twee helften in twee verschillende richtingen draaiden. Binnen korte tijd waren de trilling zo extreem dat staal en beton het begaven en het middendeel in het water stortte. Gelukkig zijn er geen slachtoffers gevallen, op de cocker-spaniël Tubby na, die omkwam toen de auto waarin hij zat naar beneden werd geslingerd.
De wetenschap achter de instorting
Hoe kon dit gebeuren? Achteraf bleek dat Galloping Gertie een ontwerp had dat te flexibel was en aerodynamisch ongunstig. Allereerst had de brug namelijk een uitzonderlijk slank profiel: het rijdek was 2,4 meter dik, terwijl het 853 meter lang was (een slankheidsratio van 1:350). Het stalen rijdek werkte als een vliegtuigvleugel in de wind: hij genereerde lift en liet de wind niet door. De luchtstroom moest om de brug heen, wat achter de randen tot wervelingen (von Kármán vortices) leidde die precies in fase waren met de beweging van de brug. Die wervelingen pompten steeds meer energie in de constructie waardoor de uitslag van de trillingen steeds groter werd; dit kun je vergelijken het met iemand die op exact het juiste moment een schommel harder duwt. Het gevolg was een zichzelf versterkende torsietrilling (“aeroelastic flutter”) die uiteindelijke catastrofale bezwijken als gevolg. Met andere woorden: de combinatie van extreme flexibiliteit en continu aanhoudende winddruk liet de brug resoneren totdat hij het begaf.
Wake-upcall
Voor de bouwkundigen van die tijd kwam de instorting van Tacoma Narrows als een harde wake-upcall. Hoe kon een hypermoderne brug in relatief matige wind het begeven? Onderzoekspanels, waaronder topingenieur Theodore von Kármán, concludeerden dat de fundamentele zwakte de extreme soepelheid van het ontwerp was. Tot dan toe snapte men onvoldoende hoe wind een slanke brug kon beïnvloeden, en men vertrouwde erop dat bestaande theorie en stijfheid voldoende waren. Tacoma Narrows veranderde dat voorgoed. Vanaf 1940 werden aerodynamica en continuummechanica serieus geïntegreerd in brugontwerp. Windtunnelproeven op schaalmodellen werden voortaan standaard om te toetsen of een ontwerp stabiel zou zijn in harde wind. De herbouwde Tacoma Narrows Bridge in 1950 kreeg bijvoorbeeld open vakwerkliggers (in plaats van dichte platen) en extra verstijvingen, zodat wind vrij door de constructie kon waaien. Zulke aanpassingen beperkten de torsie-uitslag drastisch. En sindsdien worden deze lessen wereldwijd toegepast: alle grote hangbruggen zijn dankzij deze ramp aerodynamisch veel stabieler ontworpen. Waar “Gallopin’ Gertie” nog ongecontroleerd kon galloperen, was de nieuwe brug “Sturdy Gertie” zoals de naam doet vermoeden een stuk steviger.
Continuummechanica: de natuurkunde achter vervormingen
Om te begrijpen waarom de Tacoma Narrows Bridge zo fascinerend is, moeten we eerst weten wat continuümmechanica inhoudt. Waar klassieke mechanica (zoals Rigid Body Dynamics) stijve objecten beschrijft, richt continuümmechanica zich op materialen die vervormen: staal dat buigt, beton dat scheurt, rubber dat uitrekt om zo een aantal voorbeelden te noemen. In plaats van losse atomen wordt materiaal gezien één doorlopend geheel (een continuüm) waarin krachten en spanningen vloeiend worden doorgegeven.
Dit helpt ingenieurs met het berekenen van hoe echte structuren zich gedragen. Een brug is dus geen star lichaam zoals de kat uit de vorige blog, maar een flexibel systeem dat overal een beetje meegeeft. En precies dát gedrag probeert continuümmechanica te beschrijven.
De wiskunde hierachter is erg complex. Voor een enkele balk lukt het nog met pen en papier, maar voor een trillende brug niet. Daarvoor ontstond een nieuwe aanpak: de eindige-elementenmethode. Die groeide in de decennia na Tacoma Narrows uit tot wat we nu kennen als Finite Element Analysis (FEA), onmisbaar voor het ontwerpen van moderne constructies.
Wat is FEA eigenlijk?
FEA is een notendop een slimme manier om continuummechanica met behulp van een computer toe te passen. In plaats van één onoplosbaar wiskundig model van een complete brug, verdeel je de constructie in honderden of duizenden kleine elementjes (meestal miniscule driehoekjes of vierkantjes). Voor elk element gelden de wetten van de mechanica in vereenvoudigde vorm. De computer lost voor elk klein deel de vergelijkingen op, en door al die elementen te koppelen, krijg je een benadering van het gedrag van het geheel. Zo berekent FEA waar de spanningen het hoogst worden, hoe iets doorbuigt of trilt, en of materialen ergens zullen bezwijken, wat natuurlijk erg handig is voor grote bouwkundige projecten zoals hangbruggen. Waar men bij Tacoma Narrows er pas na de bouw achter kwam dat de brug een mechanisch fiasco was, kunnen we problemen nu vooruitzien en voorkomen met een virtuele proef op de som.
De afbeelding hierboven laat een FEA van een hangbrug (niet de Gallopin’ Gertie) zien. Hoe donkerder de kleur (rood), hoe meer spanning er op dit punt staat. Hiermee kun je dus erg overzichtelijk zien wat eventuele zwaktepunten van een object zijn.
Van dansende brug tot betrouwbare ontwerpen
Hoewel de Gallopin’ Gertie inmiddels ver achter ons ligt, zie je de invloed ervan overal om je heen. Dankzij continuummechanica en FEA worden bruggen, gebouwen en voertuigen tegenwoordig doorgerekend op scenario’s die je met het blote oog niet kunt testen door de enorme complexiteit ervan. In de civiele techniek is simuleren een vast onderdeel van het ontwerpproces. Ingenieurs gebruiken Computational Fluid Dynamics (CFD) om windstromen op schaal na te bootsen en FEA om de structurele respons daarop te voorspellen. Zo kunnen ze falen zoals bij Tacoma Narrows voorkomen en sterkere, veiligere constructies bouwen. Ook in de automotieve industrie zie je continuummechanica en FEA in actie, van het optimaliseren van chassis en ophanging tot het simuleren van crash tests zodat auto’s veiliger worden zonder talloze fysieke prototypen te verwoesten.
Continuummechanica en FEA vormen dus een gouden duo: de eerste geeft ons de natuurkundige principes om te begrijpen wat er gebeurt, de tweede geeft ons de rekenkracht om te voorspellen wanneer en waar het gebeurt. Het verhaal van de deindende en golvende Tacoma Narrows Bridge laat zien hoe belangrijk dat is. Sinds 1940 hebben ingenieurs hun lessen geleerd: geen ontwerp verlaat de tekentafel zonder een grondige continuum-mechanische analyse. En als het goed is, hoeven we dankzij die virtuele tests nooit meer mee te maken dat een brug ineens de lambada doet in de wind!
Robert Dilber
Bronnen:
- Kiro 7 – Afbeelding golvende Tacoma Narrows Bridge
- Komo News – Afbeelding ingestorte Tacoma Narrows Bridge
- Historylink.org – Afbeelding herbouwde Tacoma Narrows Bridge
- Strand7 – Afbeelding FEA hangbrug
- WSDOT – “Tacoma Narrows Bridge history”
- WSDOT – “Tacoma Narrows Bridge history – Bridge – Lessons from failure”
- SimScale Engineering – “Why the Tacoma Narrows Bridge Collapsed: An Engineering Analysis”
- Ansys – “What is Finite Element Analysis (FEA)?”
