Sterkteberekening boekenplank: waarom een schroef zonder plug faalt

Staal is ontzettend sterk spul. Een doodgewone spaanplaatschroef van 4,5 millimeter kan puur op trekbelasting zo een paar honderd kilo houden. Toch kent iedereen die ooit een plankdrager zonder plug in een betonmuur probeerde te zetten hetzelfde resultaat: een schroef die doordraait, een hoopje grijs gruis op de vloer en een plank die bij de eerste stapel boeken naar beneden valt.

Aan het staal lag het niet, maar waaraan dan wel? In deze blog rekenen we een gewone boekenplank door: eerst de hefboom, dan de schroef, dan het raakvlak met de muur. Maar dat zijn allemaal statische belastingen. Stel je voor dat je een kat hebt, die op de plank springt. Wat gebeurt er dan?

De opstelling: een plankdrager is een hefboom

In dit voorbeeld rust een plank van 25 cm diep op twee stalen L-dragers, die 20 cm hoog zijn. De dragers zitten met twee schroeven aan een betonwand: één bovenin en één onderin. Op de plank staat 30 kg aan boeken en gereedschap, samen goed voor zo’n 300 N.

Bij een gelijkmatig verdeelde belasting werkt de resultante kracht in het midden van de plank, op $L = 0{,}125\ \text{m}$ van de wand. Die kracht wil de drager laten kantelen om zijn onderste punt:

$M = F \cdot L = 300 \times 0{,}125 = 37{,}5\ \text{Nm}$

De onderkant van de drager drukt tegen de muur, en dus worden de bovenste schroeven door het moment belast op trek:

$F_{t,tot} = \frac{M}{H} = \frac{37{,}5}{0{,}20} = 187{,}5\ \text{N}$

Verdeeld over de twee dragers is dat ongeveer 94 N per bovenste schroef. We nemen hier aan dat die schroef op 20 cm van het kantelpunt zit. In de praktijk zit hij een paar centimeter lager, waardoor de trekkracht iets hoger uitvalt. De onderste schroef zit vlak bij het kantelpunt en krijgt daardoor nauwelijks trek. Het gewicht op de plank wordt via afschuiving gedragen: 300 N verdeeld over vier schroeven geeft 75 N per stuk.

De schroef: ruim overgedimensioneerd

De treksterkte van een schroef hangt af van de diameter van de kern, niet van de buitendiameter. Zo heeft een 4,5 mm spaanplaatschroef een kerndiameter van ongeveer 2,9 mm:

$A_{k} = \frac{\pi}{4} \cdot d_{k}^{2} = \frac{\pi}{4} \cdot 2{,}9^{2} \approx 6{,}6\ \text{mm}^{2}$

Zulke schroeven zijn van gehard staal, waarbij we in dit geval een treksterkte van 500 N/mm² nemen:

$F_{max} = f_{u} \cdot A_{k} \approx 500 \times 6{,}6 = 3300\ \text{N}$

Dat is ruim 3 kN, oftewel het gewicht van zo’n 335 kg. Onze 94 N benut daarvan nog geen 3%. De 75 N afschuiving stelt evenmin iets voor.

Let wel op: dit is een schatting en geen berekening volgens de norm. De boutformules gelden niet één-op-één voor spaanplaatschroeven. Fabrikanten geven meestal hogere waarden op. Maar dat maakt niks uit: aan het staal van de schroef ligt het nier namelijk niet.

Het raakvlak: waarom beton niet meewerkt

Staal tegen steen

Een houtschroef werkt doordat zijn draad zich in het hout snijdt. De vezels wijken uit, veren terug en klemmen de draad vast: vormsluiting. Beton doet dat echter niet. De betonkorrels zijn namelijk harder dan de draad van een gewone schroef, en dat heeft gevolgen.

Is het gat te krap, dan schraapt de schroefdraad langs de wand en slijt hij af, of draait de schroef halverwege vast. Grip krijg je in beide gevallen niet. Boor je het gat ruimer, dan raken de draadtoppen de wand maar op een paar punten. Daar geldt:

$\sigma = \frac{F}{A}$

Met een piepklein contactoppervlak loopt de lokale spanning hoog op. Beton kan veel druk hebben, maar de treksterkte is maar ongeveer een tiende daarvan. Rond die contactpunten splijt en verbrokkelt het, waardoor de schroef er uit schiet… Hoewel het in baksteen iets beter gaat (dit is namelijk zachter dan beton), gebeurt hier hetzelfde.

De uitzondering: de betonschroef

Er bestaan schroeven die wél direct in beton geschroefd kunnen worden: de betonschroef. Dit zijn geharde schroeven met een speciaal draadprofiel. Ze gaan in een nauwkeurig geboord gat, zodat ze hun eigen draad in het beton snijden. Niet élke schroef is dus kansloos zonder plug in beton.

De plug: van puntlast naar vlaktedruk

Een plug lost het probleem vaak op:

Spreiden – De schroef is dikker dan de binnenkant van de plug en drukt het nylon naar buiten tegen de wand van het boorgat.

Spanningsspreiding – De puntlasten van de draadtoppen worden een vlaktedruk op de mantel van de plug. Bij een plug van 6 × 30 mm is dat ongeveer 565 mm².

Wrijvingssluiting – In massief beton houdt vooral wrijving de plug op zijn plaats. In holle steen vormt de plug een knoop achter de wand (vormsluiting).

De uittrekkracht van een plug kan grofweg ingeschat worden met:

$F_{uit} \approx \mu \cdot p \cdot A_{mantel}$

Bij een contactdruk van 2 N/mm² en een wrijvingscoëfficiënt van 0,4, kom je dan op ongeveer 450 N (puur ter illustratie; raadpleeg datasheets van fabrikanten voor meer info). De aanbevolen belasting van een kleine nylon plug in beton ligt in dezelfde orde: enkele honderden newtons, met een flinke veiligheidsmarge ingebouwd.

Daarmee verschuift de zwakste schakel. Niet het staal, maar de plug bepaalt nu de belastingscapaciteit.

	Houtschroef zonder plug	Houtschroef + nylon plug	Betonschroef
Grip in beton	Nauwelijks	Wrijving	Draad gesneden in beton
Zwakste schakel	Raakvlak	Plug (uitglijden)	Beton rond de schroef
Geschikt voor een plank	Nee	Ja	Ja

De stresstest: de kat

Je hebt tot hier gelezen, en besloten om pluggen te gebruiken om je plank op te hangen. Maar dan bedenk je je opeens: ik heb een kat. Dit is allemaal op statische belasting berekend, en niet op de dynamische belasting van een kat die op de plank springt. Wat zou er dan gebeuren?

Laten we uitgaan van een kat van ~5 kg. Stel dat hij vanaf een kast / tafel 50 cm boven de plank naar beneden springt, en hij precies op de voorrand landt, recht boven een drager. Zijn poten remmen de landing af over ongeveer 10 cm. Uit de energiebalans volgt de gemiddelde remkracht:

$F_{gem} = m g \left(1 + \frac{h}{s}\right) = 50 \times \left(1 + \frac{0{,}50}{0{,}10}\right) = 300\ \text{N}$

Dat is zes keer zijn lichaamsgewicht, met een enog vele hogere piek. Met een arm van 25 cm levert dat een extra moment van 75 Nm op. Omdat hij boven één drager landt, komt dat moment volledig op die ene drager:

$\Delta F_{t} = \frac{75}{0{,}20} = 375\ \text{N}$

Samen met de boeken trekt er dus zo’n 470 N aan één schroef. Voor het staal is dat nog steeds maar een zevende van zijn capaciteit. Voor de plug is het een ander verhaal: die zit nu in de buurt van zijn maximale capaciteit, en de veiligheidsmarge is grotendeels verbruikt. Het gaat waarschijnlijk goed, maar dagelijks herhaald kan de plug geleidelijk losser komen te zitten.

Hoe kun je dit voorkomen? Kies grotere pluggen, dragers met langere poten, of dragers met drie (of meer) schroeven per stuk.

Conclusie

Terug naar dat hoopje grijs gruis op de vloer. Het staal was nooit het probleem: bij 30 kg boeken wordt minder dan 3% van zijn sterkte gebruikt. Waar het mis gaat, is op het raakvlak waar staal en steen elkaar niet goed vastpakken.

Een plug lost dat op, maar wordt daarmee zelf de zwakste schakel. De volgende keer dat je iets ophangt moet je dus stilstaan bij het type plug dat je neemt.

Robert Dilber

Voor meer blogs, kijk hier.